Giải bài 1.58 trang 36 - SBT Giải tích lớp 12
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
a) \(y=x^3+(m+3)x^2+mx-2\) đạt cực tiểu tại \(x=1\)
b) \(y=-\dfrac 1 3 (m^2+6m)x^3-2mx^2+3x+1\) đạt cực đại tại \(x=-1\)
a)
Ta có:
\(y'=3x^2+2(m+3)x+m\)
\(y''=6x+2(m+3)\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) khi:
\(\left\{ \begin{aligned} & y'(1)=0 \\ & y''(1)>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 3+2(m+3)+m=0 \\ & 6+2(m+3)>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m=-3 \\ & m>-6 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(m=-3\)
b)
\(y'=-(m^2+6m)x^2-4mx+3\\ y''=-2(m^2+6m)x-4m\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) khi :
\(\left\{ \begin{aligned} & y'(-1)=0 \\ & y''(-1)<0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -(m^2+6m)+4m+3=0 \\ & 2(m^2+6m)-4m<0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & m=1 \\ & m=-3 \\ \end{aligned} \right. \\ & -4 < m<0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow m=-3 \)
Vậy \(m=-3\)
Ghi nhớ:
Hàm số đạt cực trị tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x_0\) thì \(\left\{ \begin{aligned} & f'(x_0)=0 \\ & f''(x_0)<0 \\ \end{aligned} \right. \)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) thì \(\left\{ \begin{aligned} & f'(x_0)=0 \\ & f''(x_0)>0 \\ \end{aligned} \right. \)