Giải bài 1.66 trang 38 - SBT Giải tích lớp 12

Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

Lời giải:

TXĐ: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(\lim\limits_{x\to\pm \infty}\,\dfrac{2x+1}{x-2}=2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị là \(y=2\)
\(\lim\limits_{x\to2^-}\,y=-\infty; \lim\limits_{x\to2^+}\,y=+\infty\) nên tiệm cận đứng của đồ thị là \( x=2\)
\(y'=\dfrac{-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\in D \)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;2 \right);\,\,\left( 2;+\infty \right) \)
Bảng biến thiên

Đồ thị

Ta có:

\(y'=\dfrac{-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \)
Gọi tiếp điểm của tiếp điểm và đồ thị là \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \)
Vì tiếp tuyến có hệ số góc là \(-5\) nên ta có:
\(\dfrac{-5}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-5\Rightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=-3 \\ & {{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=7 \\ \end{align} \right.\)
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là
\(\begin{align} & y+3=-5\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=-5x+2 \\ & y-7=-5\left( x-3 \right)\Leftrightarrow y=-5x+22 \\ \end{align} \)

Mục lục Giải bài tập SBT Toán 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12 •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12 •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12 •Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SBT Toán 12

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải bài tập SBT Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 4: Số phức

+ Mở rộng xem đầy đủ