Giải bài 1.60 trang 36 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y=\dfrac 1 4 x^3-\dfrac 3 2 x^2+5\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-6x^2+m=0\) có ba nghiệm phân biệt
(Đề thị tốt nghiệp THPT năm 2010)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y'=\dfrac 3 4 x^2-3x\\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty;\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\)
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số không có tiệm cận, đạt cực đại tại \(x=0,y(0)=5\) và đạt cực tiểu tại \(x=4, y(4)=-3\)
Đồ thị (C)
b)
Ta có:
\(x^3-6x^2+m=0\\ \Leftrightarrow\dfrac {1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+5=\dfrac {-m} 4+5\,\,\,\,(*)\)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng \(y=-\dfrac m 4 +5\) và đồ thị (C).
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Nếu \(\left\{ \begin{aligned} & -\dfrac{m}{4}+5<5 \\ & -\dfrac{m}{4}+5>-3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0< m<32\) thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt.
Nhận xét
Các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình ta có thể đưa về bài toán tương giao giữa hai đồ thị hàm số.