Giải bài 1.67 trang 38 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y=\dfrac{4-x}{2x+3m}\)
a) Xét tính đơn điệu của hàm số
b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left(-\dfrac 7 4;-\dfrac 1 2 \right)\)
c) Biện luận theo m số giao điểm của \(\left( {{C}_{m}} \right)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
d) Vẽ đồ thị của hàm số
\(y=\left|\dfrac{4-x}{2x+3}\right|\)
a)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{3m}{2} \right\} \)
\(y'=\dfrac{-2x-3m-2\left( 4-x \right)}{{{\left( 2x+3m \right)}^{2}}}=\dfrac{-3m-8}{{{\left( 2x+3m \right)}^{2}}} \)
+) Nếu \(m<-\dfrac{8}{3}\) thì \(y'>0\), hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-\dfrac{3m}{2} \right);\,\left( -\dfrac{3m}{2};+\infty \right) \)
+) Nếu \(m>-\dfrac{8}{3}\) thì \(y'<0\), hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-\dfrac{3m}{2} \right);\,\left( -\dfrac{3m}{2};+\infty \right) \)
+) Nếu \(m=-\dfrac{8}{3} \) thì \(y=-\dfrac{1}{2}\) khi \(x\ne 4 \)
b)
Ta có:
\(\lim\limits_{x\to\pm \infty}\,\dfrac{4-x}{2x+3m}=-\dfrac{1}{2} \)
Nên với mọi , đường thẳng \(y =-\dfrac 1 2\) luôn là tiệm cận ngang và đi qua điểm \(B\left( -\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{2} \right) \)
c)
Số giao điểm của \((C_m)\) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình
\(\begin{aligned} & \dfrac{4-x}{2x+3m}=x \\ & \Leftrightarrow 4-x=2{{x}^{2}}+3mx \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 3m+1 \right)x-4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{aligned} \)
Thay \(x=-\dfrac{3m}{2}\) vào (*), ta có:
\(\begin{aligned} & 2{{\left( -\dfrac{3m}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{9{{m}^{2}}}{2}-\dfrac{3m}{2}-4=\dfrac{9{{m}^{2}}}{2}-\dfrac{9{{m}^{2}}}{2}-\dfrac{3m}{2}-4\ne 0 \\ & \Rightarrow m\ne -\dfrac{8}{3} \\ \end{aligned} \)
Như vậy để \(x\ne -\dfrac{3m}{2}\Rightarrow m\ne -\dfrac{8}{3} \)
Ta có: \( \Delta ={{\left( 3m+1 \right)}^{2}}+32>0,\,\,\forall m\). Từ đó suy ra với \( m\ne -\dfrac{8}{3}\) đường thẳng \(y=x\) luôn cắt tại hai điểm phân biệt
d)
Ta có: \(\left| \dfrac{4-x}{2x+3} \right|=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4-x}{2x+3}\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,\,x\in \left( -\dfrac{3}{2};4 \right) \\ & \dfrac{x-4}{2x+3}\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x\in \left( -\infty ;-\dfrac{3}{2} \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Ta vẽ đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{4-x}{2x+3} \)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} \)
\(y'=\dfrac{-11}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}<0 \) với mọi \(x\ne -\dfrac{3}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-\dfrac{3}{2} \right);\left( -\dfrac{3}{2};+\infty \right) \)
Bảng biến thiên
Tiệm cận đứng \(x=-\dfrac{3}{2} \)
Tiệm cận ngang \(y=-\dfrac{1}{2} \)
Đồ thị
Để vẽ đồ thị (C’) ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
