Giải bài 1.63 trang 37 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y=x^3-(m+4)x^2-4x+m\,\,\,\,\,\,(1)\)
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi \(m = 0\).
d) Xác định \(k\) để (C) cắt đường thẳng \(y=kx\) tại ba điểm phân biệt
a)
Gọi \((x_0;y_0)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
\(y_0=x_0^3-(m+4)x_0^2-4x_0+m\\ \Leftrightarrow x_0^3-mx_0^2-4x_0^2-4x_0+m-y_0=0\\ \Leftrightarrow (x_0^3-4x_0^2-4x_0-y_0)-m(x_0^2-1)=0\,\,\,(*)\)
Vì \((x_0;y_0)\) cố định, nên ta có phương trình (*) đúng với mọi m, ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x_{0}^{3}-4x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}-{{y}_{0}}=0 \\ & x_{0}^{2}-1=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{0}}=1 \\ & {{y}_{0}}=-7 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{0}}=-1 \\ & {{y}_{0}}=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy có hai điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là \((1;-7)\) và \((-1;-1)\)
b) Ta có:
\(y'=3x^2-2(m+4)x-4\)
\(\Delta'=(m+4)^2+12>0\,\,\forall m\)
Vậy đồ thị hàm số (1) luôn có cực trị.
c) Với \(m=0\) ta có:
\(y=x^3-4x^2-4x\)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y'=3x^2-8x-4\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty; \lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\)
Đồ thị
d)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\(x^3-4x^2-4x=kx\\ \Leftrightarrow x^3-4x^2-(4+k)x=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x^2-4x-4-k=0\,\,\,(*) \\ \end{aligned} \right. \)
Để (C) cắt đường thẳng \(y=kx\) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0, hay:
\(\left\{ \begin{aligned} & 4+4+k>0 \\ & k\ne -4 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & k >-8 \\ & k\ne -4 \\ \end{aligned} \right. \)