Giải bài 4.46; 4.47 trang 209 - SBT Giải tích lớp 12
4.45. Số nào sau đây là số thực?
A. \(\dfrac{2+i\sqrt 2}{1-i\sqrt 2}+\dfrac{1+i\sqrt 2}{2-i\sqrt 2}\)
B. \((2+3i)(3-i)+(2-3i)(3+i)\)
C. \(\dfrac{(1+i)(2+i)}{2-i}+\dfrac{(1+i)(2-i)}{2+i}\)
D. \((2+i\sqrt 3)^2-(2-i\sqrt 3)^2\)
4.46. Số nào sau đây là số thuần ảo ?
\(\begin{align} & A.\,\dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{5}}}{{{\left( 1-i \right)}^{3}}} \\ & B.{{\left( 1+i \right)}^{5}}-{{\left( 1-i \right)}^{5}} \\ & C.\dfrac{1+i}{1-i}+\dfrac{1-i}{1+i} \\ & D.\dfrac{3+2i}{2-i}+\dfrac{3-2i}{2+i} \\ \end{align} \)
4.47. Cho z là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai ?
\(\begin{align} & A.z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline{z} \\ & B.z\,\text{là thuần ảo}\,\Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \\ & C.\dfrac{z}{\overline{z}}-\dfrac{\overline{z}}{z}\in \mathbb{R} \\ & D.{{z}^{3}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{3}}\in \mathbb{R} \\ \end{align} \)
4.45. Chọn B vì
\((2+3i)(3-i)+(2-3i)(3+i)=9+7i+9-7i=18\)
4.46.
\(\begin{aligned} & \dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{5}}}{{{\left( 1-i \right)}^{3}}}=\dfrac{{{\left[ {{\left( 1+i \right)}^{2}} \right]}^{2}}\left( 1+i \right)}{{{\left( 1-i \right)}^{2}}\left( 1-i \right)}=\dfrac{-4\left( 1+i \right)}{-2i\left( 1-i \right)}=\dfrac{-4-4i}{-2-2i}=2 \\ & {{\left( 1+i \right)}^{5}}+{{\left( 1-i \right)}^{5}}=\left[ {{\left( 2i \right)}^{2}} \right]\left( 1+i \right)+\left[ {{\left( -2i \right)}^{2}} \right]\left( 1-i \right) \\ & =-4\left( 1+i \right)-4\left( 1-i \right)=-8 \\ & \dfrac{1+i}{1-i}+\dfrac{1-i}{1+i}=\dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1-i \right)}^{2}}}{\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)}=0 \\ & \dfrac{3+2i}{2-i}-\dfrac{3-2i}{2+i}=\dfrac{\left( 3+2i \right)\left( 2+i \right)-\left( 3-2i \right)\left( 2-i \right)}{\left( 2-i \right)\left( 2+i \right)} \\ & =\dfrac{4+7i-\left( 4-7i \right)}{5}=\dfrac{14i}{5} \\ \end{aligned}\)
Chọn D.
4.47.
Chọn C.