Giải bài 13 trang 108 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng nếu \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số cộng \((abc\ne 0)\) thì các số \(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn:
Để chứng minh \(a, b, c\) là cấp số cộng, ta chứng minh \(b-a=c-b\)
Ta có: \(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\)là cấp số cộng
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+a} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{b-a}{\left( c+a \right)\left( b+c \right)}=\dfrac{c-b}{\left( a+b \right)\left( c+a \right)} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{b-a}{b+c}=\dfrac{c-b}{a+b}\Leftrightarrow {{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \)
Do vậy \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số cộng.
Vậy điều kiện để \(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\)là cấp số cộng là \(a^2,b^2,c^2\) là cấp số cộng.
