Giải bài 5 trang 107 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi \(n\in \mathbb N^*\), ta có:
a) \(13^n-1\) chia hết cho 6;
b) \(3n^3+15n\) chia hết cho 9
a) Đặt \(A_n=13^n-1\), ta chứng minh \(A_n\,\vdots\, 6\,\,\, n\in \mathbb N^*\,\,(1)\) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với \(n=1\) ta có \(A_1=12\,\vdots\, 6\). Vậy (1) đúng với \(n=1\).
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là \(A_k=13^k-1\,\vdots\,\, 6\).
Ta chứng minh \(A_{k+1}\,\vdots \,\,6\)
Thật vậy: \(A_{k+1}=13^{k+1}-1=13(13^k-1)+12\,\vdots \,6\). (Vì \(A_k\vdots 6\))
Vậy (1) đúng với \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b)
Đặt \(B_n=3n^3+15n\), ta chứng minh \(B_n\,\vdots\,\, 9, \,\, n\in \mathbb N^*\,\,\,(2)\) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với \(n=1\) ta có \(B_1=18\,\vdots\,\, 9\). Vậy (2) đúng với \(n=1\).
Giả sử (2) đúng với \(n=k\), tức là \(B_k=3k^3+15k\,\vdots\, 9.\)
Ta chứng minh \( B_{k+1}\vdots 9\)
Thật vậy: \(B_{k+1}=3(k+1)^3+15(k+1)=(3k^3+15k)+9(k^2+k+2)\vdots 9.\) (Vì \(B_k\vdots 9\))
Vậy (2) đúng với \(n=k+1\) nên (2) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
