Giải bài 7 trang 107 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (\(u_n\)), biết:
a) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\);
b) \(u_n=(-1)^{n-1}\sin \dfrac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
a) Xét hiệu:
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=n+1-\dfrac{1}{n+1}-n+\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n} \\ & =1-\dfrac{1}{n(n+1)}>0 \\ \end{aligned} \)
(vì \(\dfrac{1}{n(n+1)}<1\))
Suy ra, (\(u_n\)) là dãy số tăng.
Vì \(u_n > 0\) với mọi \(n\in \mathbb N^*\) nên (\(u_n\)) bị chặn dưới.
(\(u_n\)) không bị chặn trên vì với n lớn vô cùng thì \(u_n\) cũng lớn vô cùng.
b) Ta có: \({{u}_{1}}=\sin 1>0;\,{{u}_{2}}=-\sin \dfrac{1}{2}<0;\,{{u}_{3}}=\sin \dfrac{1}{3}>0 \)
\(\Rightarrow {{u}_{1}}>{{u}_{2}};\,{{u}_{2}}<{{u}_{3}}\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.
Ta có: \(|{{u}_{n}}|=\left|\sin\dfrac{1}{n}\right|\le 1\Rightarrow -1\le {{u}_{n}}\le 1\) với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
Vậy (\(u_n\)) bị chặn.
c) Ta có: \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\). Với \( n\ge 1\) thì \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\le \sqrt{2}+1\)
Do đó, \(0< u_n\le\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\,\,\forall n\ge 1\Rightarrow u_n\) bị chặn.
Ta có:
\(u_{n+1}< u_n \,\,\forall n\in \mathbb N^*\Rightarrow(u_n)\)là dãy giảm.
