Giải bài 1.34 trang 21 - SBT Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)=\sqrt{25-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \([-4;4]\);
b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\);
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\);
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\).
Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\)
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
\(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
\(f'\left( x \right)=\dfrac{-x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\)
\(f′(x) > 0\) trên khoảng \((-4; 0)\) và \(f’(x) < 0\) trên khoảng \((0; 4)\).
Vậy \(\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=5;\,\,\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=3\,\,\,\)
b) \(f\left( x \right)=|{{x}^{2}}-3x+2|\) trên đoạn \([-10;10]\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2\)
Ta có: \(g'\left( x \right)=2x-3;\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} \)
Vì \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & g\left( x \right)\,\,\,khi\,\,{{x}^{2}}-3x+2\ge 0, \\ & -g\left( x \right)\,\,khi\,{{x}^{2}}-3x+2<0 \\ \end{align} \right.\)
nên ta có đồ thị của \(f(x)\) như sau:
Từ đồ thị suy ra
\(\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=f\left( -10 \right)=132;\,\,\,\underset{\left[ -10;10 \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=0\,\,\,\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{5\pi }{6} \right]\)
\(f'\left( x \right)=-\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}; \)
\(f'\left( x \right)<0\) trên \(\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right)\) và \(f'\left( x \right)>0\) trên \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{6} \right]\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{\pi }{2}\) và \({{f}_{CT}}=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1 \)
Mặt khác, \( f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\,\,f\left( \dfrac{5\pi }{6} \right)=2 \)
Vậy
d) \(f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x\) trên đoạn \( \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right]\) .
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=2\cos x+2\cos 2x=4\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}; \\ & f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos \dfrac{x}{2}=0 \\ & cos\dfrac{3x}{2}=0\, \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Ta có \(f\left( 0 \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\,f\left( \pi \right)=0,\,\,f\left( \dfrac{3\pi }{2} \right)=-2 \)
Từ đó ta có: