Giải bài 1.40 trang 21 - SBT Giải tích 12
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Xét tam giác ABC vuông tại A.
Kí hiệu cạnh góc vuông AB là \(x,\,\,0 < x< \dfrac{a}{2} \)
Khi đó, cạnh huyển \(BC=a-x\), cạnh góc vuông kia là
\(\begin{align} & AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \\ & hay\,\,AC=\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ \end{align} \)
Diện tích tam giác ABC là
\(\begin{align} & S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x\sqrt{{{a}^{2}}-2ax} \\ & S'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}-\dfrac{1}{2}\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}}=\dfrac{a\left( a-3x \right)}{2\sqrt{{{a}^{2}}-2ax}} \\ & S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3} \\ \end{align} \)
Bảng biến thiên
Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB=\dfrac{a}{3},\,\,BC=\dfrac{2a}{3}\) .