Giải bài 1.37 trang 21 - SBT Giải tích 12
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3x^2-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Gợi ý: Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,y=m\). Đồ thị 2 hàm số trên phải có ba giao điểm.
Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\,\,\,\,\,\,\left( {{C}_{1}} \right) \)
\(y=m \,\,\,\,\, (C_2)\)
Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((C_1)\) và \((C_2)\) có ba giao điểm.
Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên
Suy ra \((C_1), (C_2)\) cắt nhau tại 3 điểm khi \(-4 < m < 0.\)
Kết luận: Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\) có ba nghiệm phân biệt với những giá trị m thỏa mãn điều kiện \(-4 < m < 0.\)