Giải bài 1.35 trang 21 - SBT Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y=\dfrac{x}{4+x^2}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\);
b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right)\);
Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn.
Bước 1: Tìm \({{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]\,\,\,\left( i=1;2;...;n \right)\) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x}_{i}} \right),\,\,\left( i=1;2;...;n \right) \)
Bước 3: Tìm \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{max}}\,f\left( x \right)=max\left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
\( \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right) \right\}\)
a) \(y=\dfrac{x}{4+{{x}^{2}}}\) trên \(\left( -\infty ;+\infty \right) \)
\(y'=\dfrac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( 4+{{x}^{2}} \right)}^{2}}};y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ đó ta có \(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max }}\,y=\dfrac{1}{4};\,\,\underset{\mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=-\dfrac{1}{4} .\)
b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right) \).
\(y'=\dfrac{\operatorname{sinx}}{{{\cos }^{2}}x\,};\,\,y'=0\Leftrightarrow x=\pi \)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là
\(\underset{\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)}{\mathop{max}}\,y=y\left( \pi \right)=-1\). .