Giải bài 44 trang 122 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Chứng minh rằng
\({{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( n-1 \right){{n}^{2}}=\dfrac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)\left( 3n+2 \right)}{12}\) (1)
Với mọi số nguyên \(n \ge 2\)
Với \(n=2\), ta có: \({{1.2}^{2}}=4=\dfrac{2.\left( 4-1 \right)\left( 6+2 \right)}{12}\) nên (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là: \({{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( k-1 \right){{k}^{2}}=\dfrac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)\left( 3k+2 \right)}{12} \)
Ta chứng minh (1) cũng đúng với \(n=k+1\), thật vậy ta có:
\(\begin{aligned} & {{1.2}^{2}}+{{2.3}^{2}}+...+\left( k-1 \right){{k}^{2}}+k{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)\left( 3k+2 \right)}{12}+k{{\left( k+1 \right)}^{2}} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k-1 \right)\left( 3k+2 \right)+12k{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left[ \left( k-1 \right)\left( 3k+2 \right)+12\left( k+1 \right) \right]}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( 3{{k}^{2}}+11k+10 \right)}{12} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 3k+5 \right)}{12} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( {{k}^{2}}+2k \right)\left( 3k+5 \right)}{12} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]\left[ 3\left( k+1 \right)+2 \right]}{12} \\ \end{aligned} \)
Vậy (1) đúng với \( n=k+1\), hay là (1) đúng với mọi n nguyên dương.