Giải bài 47 trang 123 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.
a) Dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=8n+3\)
b) Dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=n^2+n+1\)
c) Dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=3.8^n\)
d) Dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=(n+2).3^n\)
Hướng dẫn:
Tính \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\) hoặc \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}.\)
Nếu \( \dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=k\) (là hằng số) thì dãy số là cấp số nhân
Nếu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=k\) (là hằng số) thì dãy số là cấp số cộng.
a)
Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=8\left( n+1 \right)+3-\left( 8n+3 \right)=8 \)
Nên dãy số là cấp số cộng có công sai bằng 8
b)
Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+n+1+1 \right]-\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)=2n+2 \)
Và \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}+n+1+1}{{{n}^{2}}+n+1} \)
Nên dãy số không là cấp số cộng cũng không là cấp số nhân.
c)
Ta có:
\(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{3.8}^{n+1}}}{{{3.8}^{n}}}=8 \)
Nên dãy số là cấp nhân với công bội bằng 8.
d)
Ta có:
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( n+1+2 \right){{3}^{n+1}}-\left( n+2 \right){{3}^{n}} \\ \dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{\left( n+1+2 \right){{3}^{n+1}}}{\left( n+2 \right){{3}^{n}}}=\dfrac{\left( n+3 \right).3}{n+2} \)
Nên dãy số không là cấp số cộng cũng không là cấp số nhân.