Giải bài 45 trang 123 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

Với \(n=1\), ta có: \( {{u}_{1}}=\dfrac{{{2}^{1-1}}+1}{{{2}^{1-1}}}=2\) (đúng)

Giả sử (1) đúng với \(n=k (k> 1)\) tức là: \({{u}_{k}}=\dfrac{{{2}^{k-1}}+1}{{{2}^{k-1}}} \)

Ta chứng minh (1) cũng đúng với \(n=k+1\), tức là:

\({{u}_{k+1}}=\dfrac{{{2}^{k}}+1}{{{2}^{k}}} \)

Thật vậy ta có:

\({{u}_{k+1}}=\dfrac{{{u}_{k}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{{{2}^{k-1}}+1}{{{2}^{k-1}}}+1}{2}=\dfrac{{{2}^{k-1}}+1+{{2}^{k-1}}}{{{2.2}^{k-1}}}=\dfrac{{{2}^{k}}+1}{{{2}^{k}}} \)

Vậy (1) đúng với \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi n nguyên dương.