Giải bài 49 trang 124 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao

Theo giả thiết ta có:

\({{p}_{n}}=4{{u}_{n}},{{S}_{n}}=u_{n}^{2}\) với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

a)

Gọi d là công sai của cấp số cộng \( (u_n) d\ne 0.\)

Khi đó, với mọi \(n \in \mathbb N^*\)

\({{p}_{n+1}}-{{p}_{n}}=4{{u}_{n+1}}-4{{u}_{n}}=4\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)=4d\)

Vậy (\(p_n\)) là cấp số cộng với công sai là \(4d\)

\({{S}_{n+1}}-{{S}_{n}}=u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}=\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right)\left( {{u}_{n+1}}+{{u}_{n}} \right)=d\left( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}} \right) \)

Vậy (\(S_n\)) không là cấp số cộng

b)

Gọi q là công bội của cấp số nhân (\(u_n\)) (\(q\ne 1\))

Khi đó, với mọi \(n\in \mathbb N^*\) ta có:

\(\dfrac{{{p}_{n+1}}}{{{p}_{n}}}=\dfrac{4{{u}_{n+1}}}{4{{u}_{n}}}=q\) không đổi.

Nên (\(p_n\)) là cấp số nhân có công bội bằng \(q\)

\(\dfrac{{{S}_{n+1}}}{{{S}_{n}}}=\dfrac{u_{n+1}^{2}}{u_{n}^{2}}={{\left( \dfrac{{{\mathsf{u}}_{n+1}}}{{{u}_{n}}} \right)}^{2}}={{p}^{2}} \)

Vậy (\(S_n\)) là cấp số nhân với công bội bằng \(p^2\)