Giải bài 46 trang 123 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Cho dãy số (\(u_n\)) và (\(v_n\)) với \({{u}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n+1} \) và \({{v}_{n}}=\dfrac{2n}{n+1} \)
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (\(a_n\)) với \({{a}_{n}}={{u}_{n}}+{{v}_{n}} \)
b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (\(b_n\)) với \({{b}_{n}}={{u}_{n}}-{{v}_{n}} \)
c) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (\(c_n)\) với \({{a}_{n}}={{u}_{n}}.{{v}_{n}} \)
d) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (\(d_n\)) với \( {{a}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \)
Chú ý
Các sãy số \( \left( {{a}_{n}} \right),\left( {{b}_{n}} \right),\left( {{c}_{n}} \right)\) và \(\left( {{d}_{n}} \right)\) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bới\( \left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right),\left( {{u}_{n}}-{{v}_{n}} \right),\left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)\) và \(\left( \dfrac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right) \)
a)
Ta có:
\({{a}_{n}}={{u}_{n}}+{{v}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n+1}+\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{{{n}^{2}}+2n+1}{n+1}=n+1 \)
b)
\({{b}_{n}}={{u}_{n}}-{{v}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n+1}-\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{{{n}^{2}}-2n+1}{n+1}=\dfrac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{n+1} \)
c)
\({{c}_{n}}={{u}_{n}}{{v}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n+1}.\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{2n\left( {{n}^{2}}+1 \right)}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \)
d)
\({{d}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n+1}:\dfrac{2n}{n+1}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{2n} \)