Giải bài 51 trang 124 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng lên 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.
- Ở cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.
Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu \(u_n\) và \(v_n\) tương ứng là giá của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.
a) Hãy tính \(u_2, u_3, v_2, v_3\)
b) Chứng minh rằng dãy số (\(u_n\)) là một cấp số cộng và dãy số (\(v_n\)) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.
c) Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dung cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chon ở cơ sở nào, chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?
d)Cũng câu hỏi như phần c) , với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.
a)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{2}}={{u}_{1}}+500=8000+500=1300 \\ & {{u}_{3}}={{u}_{2}}+500=1300+500=1800 \\ \end{aligned} \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{v}_{2}}={{v}_{1}}+0,07{{v}_{1}}={{v}_{1}}\left( 1+0,07 \right)=1,07{{v}_{1}}=1,07.6000=6420 \\ & {{v}_{3}}={{v}_{2}}+0,07{{v}_{2}}={{v}_{2}}\left( 1+0,07 \right)=1,07{{v}_{2}}=1,07.6420=6869,4 \\ \end{aligned} \)
b)
Theo giả thiết của bài toán, ta có:
\({{u}_{1}}=8000 \) và \({{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+500\) với mọi \(n \ge 1\)
Vậy (\(u_n\)) là cấp số cộng có công sai \(d=500\) và số hạng đầu là \(u_1=8000\)
Số hạng tổng quát của (\(u_n\)) là: \({{u}_{n+1}}=8000+\left( n-1 \right)500=7500+500n \)
\(v_1=6000\) và \({{v}_{n+1}}={{v}_{n}}+{{v}_{n}}.0,07={{v}_{n}}.1,07\) với mọi \(n\ge 1 \)
Vậy (\(u_n\)) là cấp số nhân có công bội \(p=1,07\) và số hạng đầu \(v_1=6000\)
Số hạng tổng quát của (\(v_n)\) là: \({{v}_{n}}=6000.1,{{07}^{n-1}} \)
c)
Kí hiệu \(A_{20}\) và \(B_{20}\) tương ứng là số tiền công (tính theo đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cả sở A và B.
Từ kết quả phần b) ta có:
\(A_{20}\) là tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(u_n\) hay:
\( {{A}_{20}}=\dfrac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10.\left( 2.8000+19.500 \right)=255000\)
\(B_{20}\) là tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(v_n\) hay:
\({{B}_{20}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{20}}}{1-q}=6000.\dfrac{1-{{\left( 1,07 \right)}^{20}}}{1-1,07}\approx 245972 \)
Vậy nếu cần khoan giếng sau 20 m thì nên thuê cơ sở B.
d) Tương tự câu c) ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{25}}=\dfrac{25.\left( 2{{u}_{1}}+24d \right)}{2}=350000 \\ & {{B}_{25}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{25}}}{1-q}\approx 379494 \\ \end{aligned} \)
Do đó, nếu cần khoan giếng sâu 25 m thì nên thuê cơ sở A.