Giải bài 10 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{aligned} & x=1-2t \\ & y=2+t \\ & z=3-t \\ \end{aligned} \right. \) và mặt phẳng \( \left( \alpha \right):2x+y+z=0 \).
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và \((\alpha)\)
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta)\) qua A và vuông góc với d.
a) Gọi \(A\left( 1-2t;2+t;3-t \right)\in d\)
Vì \(A\in \left( \alpha \right)\) nên
\(2\left( 1-2t \right)+2+t+3-t=0 \\ \Leftrightarrow -4t+7=0 \\ \Leftrightarrow t=\dfrac{7}{4} \\ \Rightarrow A\left( -\dfrac{10}{4};\dfrac{15}{4};\dfrac{5}{4} \right) \)
b) Mặt phẳng \((\beta)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -2;1;-1 \right)\).
Phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là
\(-2\left( x+\dfrac{10}{4} \right)+y-\dfrac{15}{4}-\left( z-\dfrac{5}{4} \right)=0 \\ \Leftrightarrow -2x+y-z-\dfrac{15}{2}=0 \\ \Leftrightarrow 4x-2y+2z+15=0 \)
Ghi nhớ:
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.