Giải bài 7 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12

a) \(\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( -1;1;-1 \right)\ne k\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;1;1 \right)\)

Nên hai đường thẳng hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

 Xét hệ phương trình

\(\left\{ \begin{aligned} & 1-t=2t' \\ & t=-1+t' \\ & -t=t' \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t+2t'=1\,\left( 1 \right) \\ & t-t'=-1\,\left( 2 \right) \\ & t+t'=0\,\left( 3 \right) \\ \end{aligned} \right. \)

Từ (1) và (2) ta được \( \left\{ \begin{aligned} & t=-\dfrac{1}{3} \\ & t'=\dfrac{2}{3} \\ \end{aligned} \right. \)

t và t' không thỏa mãn phương trình (3) nên hệ vô nghiệm

Suy ra hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) chéo nhau.

b) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( -1;1;-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 2;1;1 \right)\)

Mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=\left( 2;-1;-3 \right)\)

Lấy \(M\left( 1;0;0 \right)\in d_1\)

Phương trình mặt phẳng là

\(\left( \alpha \right)2\left( x-1 \right)-y-3z=0 \\ \Leftrightarrow 2x-y-3z-2=0 \)

Ghi nhớ:

Để chứng minh hai đường thẳng \(d_1; d_2\) chéo nhau ta chứng minh: \(u_{d_1}\ne k u_{d_2}\) và hệ phương trình tham số hai đường thẳng vô nghiệm.