Giải bài 13 trang 101 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned} & x=-1+3t \\ & y=1+2t \\ & z=3-2t \\ \end{aligned} \right. \) và \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned} & x=t' \\ & y=1+t' \\ & z=-3+2t' \\ \end{aligned} \right. \)
a) Chứng minh \(d_1\) và \(d_2\) cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng đó.
a) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 3;2;-2 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=\left( 1;1;2 \right) \)
\(\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=3+2-4=-1\ne 0\)
\(\Rightarrow {{d}_{1}}//{{d}_{2}}\)
Suy ra hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Phương trình mặt phẳng (P) chứa \(d_1\) và \(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=\left( 6;-8;1 \right) \)
Lấy \(M\left( -1;1;3 \right)\in d \Rightarrow M \in (P)\)
Phương trình mặt phẳng (P) là
\(6\left( x+1 \right)-8\left( y-1 \right)+z-3=0 \\ \Leftrightarrow 6x-8y+z+11=0 \)
Ghi nhớ:
Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta chứng minh hai đường thẳng đó song song hoặc cắt nhau