Giải bài 4 trang 99 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 7;-2;3 \right)\) và đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=-1+3t \\ & y=2-2t \\ & z=2+2t \\ \end{aligned} \right. \)
a) Chứng minh rẳng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I trên d sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.
Gợi ý:
Để chứng minh hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng ta chứng minh hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 6;-4;4 \right)=2\overrightarrow{{{u}_{d}}}\)
Mà \(A\notin d\) nên AB // d.
Vậy AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d
Ta có \(AI+BI=A'I+BI\ge A'B\)
Suy ra \(A'I+BI\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow A',I,B\) thẳng hàng.
Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A'B và d.
Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(M\left( 4;0;1 \right)\).
Giả sử \(I\left( -1+3t;2-2t;2+2t \right)\in d\)
\(\overrightarrow{MI}\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\ \overrightarrow{MI}=\left( -5+3t;2-2t;1+2t \right) \\ \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\ \Leftrightarrow 3\left( -5+3t \right)-2\left( 2-2t \right)+2\left( 1+2t \right)=0 \\ \Leftrightarrow 17t-17=0 \\ \Leftrightarrow t=1 \\ \Rightarrow I\left( 2;0;4 \right) \)