Giải bài 16 trang 102 – SGK môn Hình học lớp 12

a) Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 4;1;2 \right),\,\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}=\left( 2;-2;1 \right) \)

Do \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\ne k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}\) nên hai mặt phẳng cắt nhau

b) Giao tuyến d của hai mặt phẳng có vectơ chỉ phương 

\(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=\left( 5;0;-10 \right)=5\left( 1;0;-2 \right)\)

Gọi M là giao điểm của hai mặt phẳng. Lấy x = 0 ta có M thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{aligned} & y+2z+1=0 \\ & -2y+z+3=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y=1 \\ & z=-1 \\ \end{aligned} \right. \)

Suy ra \(M\left( 0;1;-1 \right)\in d\)

Phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{aligned} & x=t \\ & y=1 \\ & z=-1-2t \\ \end{aligned} \right. \)

c) Phương trình đường thẳng d' qua m và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{aligned} & x=4+4t \\ & y=2+t \\ & z=1+2t \\ \end{aligned} \right. \)

Gọi H là giao điểm của d' và \(\left( \alpha \right)\).

Lấy \(H\left( 4+4t;2+t;1+2t \right)\in d'\), vì \(H\in \left( \alpha \right)\) nên

\(4\left( 4+4t \right)+2+t+2\left( 1+2t \right)+1=0 \\ \Leftrightarrow 21t+21=0 \\ \Leftrightarrow t=-1 \\ \Rightarrow H\left( 0;1;-1 \right) \)

Điểm M' đối xứng với M khi và chỉ khi H là trung điểm của MM'

\(\Rightarrow M'\left( -4;0;-3 \right)\)

d) Phương trình mặt phẳng (P) qua N và vuông góc với d là

\(x-2\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow x-2z+8=0\)

Gọi K là giao điểm của d và (P).

Lấy \(K\left( t;1;-1-2t \right)\in d\), vì \(K\in \left( P \right)\) nên

\(t-2\left( -1-2t \right)+8=0 \\ \Leftrightarrow 5t+10=0 \\ \Leftrightarrow t=-2 \\ \Rightarrow K\left( -2;1;3 \right) \)

Điểm N' đối xứng với N khi và chỉ khi H là trung điểm của NN'

\(\Rightarrow N'\left( -4;0;2 \right) \)

Ghi nhớ:

Nếu \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}\ne k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}\) thì  \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng  \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]\)