Giải bài 12 trang 101 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 3;-2;-2 \right),B\left( 3;2;0 \right),C\left( 0;2;1 \right),D\left( -1;1;2 \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
c) Tìm tọa độ tiếp điểm H của (S) và mặt phẳng (BCD).
a) Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left( -3;0;1 \right),\overrightarrow{BD}=\left( -4;-1;2 \right)\)
Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;2;3 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (BCD) là
\(x-3+2\left( y-2 \right)+3z=0 \\ \Leftrightarrow x+2y+3z-7=0 \)
Thay tọa độ điểm A vào (BCD) ta được
\(3+2.\left( -2 \right)+3.\left( -2 \right)-7=-14\ne 0 \\ \Rightarrow A\notin \left( BCD \right) \)
Vậy ABCD là một tứ diện
b) Khoảng cách từ A đến (BCD) là
\(d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2.\left( -2 \right)+3.\left( -2 \right)-7 \right|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\)
Vì (S) tiếp xúc với (BCD) nên có bán kính \(R=d\left( A,\left( BCD \right) \right)\)
Phương trình chính tắc của mặt cầu là
\({{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14\)
c) Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (BCD) là \(\left\{ \begin{aligned} & x=3+t \\ & y=-2+2t \\ & z=-2+3t \\ \end{aligned} \right. \)
Tiếp điểm H là giao điểm của d và (BCD).
Lấy \(H\left( 3+t;-2+2t;-2+3t \right)\in d \) , vì \(H\in \left( BCD \right)\) nên ta có
\(3+t+2\left( -2+2t \right)+3\left( -2+3t \right)-7=0 \\ \Leftrightarrow 14t-14=0 \\ \Leftrightarrow t=1 \\ \Rightarrow H\left( 4;0;1 \right) \)
Ghi nhớ:
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng.