Giải bài 14 trang 101 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian cho ba điểm A, B, C.
a) Xác định điểm G sao cho \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}={{k}^{2}}\), với k là hằng số.
Gợi ý:
Sử dụng công thức hiệu của hai vectơ
a) Ta có
\(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC} \right)=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{CB}=0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB} \)
Điểm G trong không gian thỏa mãn biểu thức vectơ \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{CB} \).
b) Ta có
\(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}={{k}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}-2{{\left( \overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM} \right)}^{2}}={{k}^{2}} \\ \Leftrightarrow G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}}+G{{M}^{2}}-2\overrightarrow{GM}\left( \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC} \right)={{k}^{2}} \\ \Leftrightarrow G{{M}^{2}}={{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right) \)
Nếu \({{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)<0\) thì không tồn tại điểm M.
Nếu \({{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)=0\) thì \(M\equiv G\).
Nếu \({{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)>0\) thì điểm M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính \(\sqrt{{{k}^{2}}-\left( G{{A}^{2}}+2G{{B}^{2}}-2G{{C}^{2}} \right)} \)