Giải bài 5 trang 99 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng \(AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm\)
a) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Gợi ý:
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức \(V=\dfrac 1 3 AD. S_{ABC}\)
b) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) theo phương trình đoạn chắn rồi tính khoảng cách từ A đến (BCD)
a) Ta có \(A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}\)
\(\Rightarrow \Delta ABC \) vuông tại A.
Thể tích của tứ diện là
\({{V}_{D.ABC}}=\dfrac{1}{3}AD.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.4.\dfrac{1}{2}.4.3=8\left( c{{m}^{3}} \right)\)
b) Chọn hệ trục tọa độ sao cho các điểm A, B, C, D có tọa độ như sau
\(A\left( 0;0;0 \right),B\left( 3;0;0 \right),C\left( 0;4;0 \right),D\left( 0;0;4 \right)\)
Phương trình theo đoạn chắn đi qua B, C, D là
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1 \\ \Leftrightarrow 4x+3y+3z-12=0 \)
Khoảng cách từ A đến (BCD) là
\(d\left( A,\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| -12 \right|}{\sqrt{16+9+9}}=\dfrac{12}{\sqrt{34}}\)