Giải bài 6 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4{{a}^{2}}\,\left( a>0 \right)\)
a) Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.
b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt{3}\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
a) Tâm và bán kính của (S) lần lượt là \(I\left( 0;0;0 \right),R=2a>0 \).
Diện tích của mặt cầu là
\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}\)
Thể tích của khối cầu là
\(V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( 2a \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi {{a}^{3}}}{3}\)
b) Phương trình mặt phẳng (Oxy) là \(z=0\).
Ta có \(M\left( x;y;z \right)\in \left( C \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4{{a}^{2}} \\ & z=0 \\ \end{aligned} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4{{a}^{2}} \\ & z=0 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy (C) có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \(r=R=2a\).
c) Diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao \(a\sqrt{3}\) là:
\({{S}_{xq}}=2\pi rl=2\pi .2a.a\sqrt{3}=4\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}\)
Thể tích của khối trụ là
\(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}.a\sqrt{3}=4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}\)
Ghi nhớ
Diện tích của mặt cầu là: \(S=4\pi {{R}^{2}}\)
Thể tích của khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)
Diện tích xung quanh của hình trụ: \({{S}_{xq}}=2\pi rl\)
Thể tích của khối trụ là: \(V=\pi {{r}^{2}}h\)