Giải bài 11 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A\left( -1;2;0 \right),B\left( -3;0;2 \right),C\left( 1;2;3 \right),D\left( 0;3;-2 \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) chứa AD và song song với BC.
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -2;-2;2 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 2;0;3 \right)\)
Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -6;10;4 \right)=-2\left( 3;-5;-2 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (ABC) là
\(3\left( x+1 \right)-5\left( y-2 \right)-2z=0 \\ \Leftrightarrow 3x-5y-2z+13=0 \)
Phương trình đường thẳng AD đi qua A có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AD}=\left( 1;1;-2 \right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AD là \(\left\{ \begin{aligned} & x=-1+t \\ & y=2+t \\ & z=-2t \\ \end{aligned} \right. \)
b) Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left( 4;2;1 \right)\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC} \right]=\left( 5;-9;-2 \right) \)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
\(5\left( x+1 \right)-9\left( y-2 \right)-2z=0 \\ \Leftrightarrow 5x-9y-2z+23=0 \)
Ghi nhớ:
Mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông góc với đường thẳng b thì có vectơ pháp tuyến là \([\overrightarrow u_a;\overrightarrow u_b]\)