Giải bài 2 trang 99 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thánh hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa điểm A'. Tính thể tích của (H).
Gợi ý:
\( {{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{AA'GH}}-{{V}_{IB'GE}}-{{V}_{KD'HF}}\)
Trong \((A'B'C'D')\) kéo dài EF cắt A'B' tại G và cắt A'D' tại H.
Trong \((ABB'A')\) nối AG cắt BB' tại I.
Trong \((ADD'A')\) nối AH cắt DD' tại K.
Mặt phẳng \((AEF)\) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác \(AIEFK.\)
Dễ dàng chứng minh \(\Delta GB'E=\Delta FC'E=\Delta FD'H(g.c.g)\)
\(\Rightarrow GB'=C'F=D'H=\dfrac{a}{2} \\ D'K//AA'\Rightarrow \dfrac{D'K}{AA'}=\dfrac{D'H}{A'H}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow D'K=\dfrac{a}{3} \)
Tương tự \(IB'=\dfrac{a}{3}\).
Ta có \({{V}_{IB'GE}}={{V}_{KD'HF}}=\dfrac{1}{3}.JB'.{{S}_{GB'E}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{72}\)
\(A'G=A'H=\dfrac{3a}{2}\)
\({{V}_{AA'GH}}=\dfrac{1}{3}.AA'.{{S}_{A'GH}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}\)
\(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}={{V}_{AA'GH}}-{{V}_{IB'GE}}-{{V}_{KD'HF}}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}-2.\dfrac{{{a}^{3}}}{72}=\dfrac{25{{a}^{3}}}{72}\)