Giải bài 3 trang 99 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.
b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Gợi ý:
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính bán kính hình nón.
b) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương.
a) Gọi AB là đường kính của (C), H là tâm của (C). SI là đường kính của (S).
Tam giác SAI vuông tại A, đường cao AH có
\(A{{H}^{2}}=HI.HS=h\left( 2r-h \right)\)
Thể tích của khối nón là
\(V=\dfrac{1}{3}\pi A{{H}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 2r-h \right){{h}^{2}}\)
b) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow abc\le {{\left[ \dfrac{1}{3}\left( a+b+c \right) \right]}^{3}}\)
\(V=\dfrac{\pi }{6}\left( 4r-2h \right).h.h\le \dfrac{\pi }{6}.\left( \dfrac{4r-2h+h+h}{3} \right)^3=\dfrac{32\pi {{r}^{3}}}{81}\)
Vậy V đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{32\pi {{r}^{3}}}{81}\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(4r-2h=h\) hay \(h=\dfrac{4r}{3}\)