Giải bài 9 trang 100 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 2;4;-1 \right),B\left( 1;4;-1 \right),C\left( 2;4;3 \right),D\left( 2;2;-1 \right)\)
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD).
a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;0;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 0;0;4 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 0;-2;0 \right)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}=0\)
Suy ra các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.
Mà \(AB=1,AC=4,AD=2\)
Thể tích khối tứ diện là
\({{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}.1.4.2=\dfrac{4}{3}\)
b) Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 \)
Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 21-4a-8b+2c+d=0\,\left( 1 \right) \\ & 18-2a-8b+2c+d=0\,\left( 2 \right) \\ & 29-4a-8b-6c+d=0\,\left( 3 \right) \\ & 9-4a-4b+2c+d=0\,\left( 4 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Lấy \(\left( 1 \right)-\left( 2 \right)\Rightarrow 3-2a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\)
Lấy \(\left( 1 \right)-\left( 3 \right)\Rightarrow -8+8c=0\Leftrightarrow c=1 \)
Lấy \(\left( 1 \right)-\left( 4 \right)\Rightarrow 12-4b=0\Leftrightarrow b=3\)
\(\Rightarrow d=-21+4.\dfrac{3}{2}+8.3-2.1=7\)
Suy ra phương trình mặt cầu là
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-3x-6y-2z+7=0 \)
c) Tâm và bán kính của (S) là \(I\left( \dfrac{3}{2};3;1 \right),R=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;0;0 \right),\overrightarrow{BD}=\left( 1;-2;0 \right)\)
Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 0;0;2 \right)=2\left( 0;0;1 \right)\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) song song với (ABD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left( 0;0;1 \right)\) có dạng
\(z+D=0\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) tiếp xúc với (S) nên
\(d\left( I,\left( ABD \right) \right)=R \\ \Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+D \right|}{1}=\dfrac{\sqrt{21}}{2} \\ \Leftrightarrow D=-1\pm \dfrac{\sqrt{21}}{2} \)
Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc với (S) là \(z-1\pm \dfrac{\sqrt{21}}{2}=0\)
Ghi nhớ:
- Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
- Để viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm ta lập hệ phương trình bốn ấn từ phương trình mặt cầu tổng quát rồi giải.