Giải bài 1.17 trang 15 - SBT Giải tích 12
Tìm cực trị của hàm số sau:
a) \(y=-2x^2+7x-5\);
b) \(y=x^3-3x^2-24x+7\);
c) \(y=(x+2)^2(x-3)^3\).
a) \(y=-2{{x}^{2}}+7x-5\) . TXĐ: \(\mathbb{R}\)
\(\begin{align} & y'=-4x+7,\,y'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4} \\ & y''=-4\Rightarrow y''\left( \dfrac{7}{4} \right)=-4<0 \\ \end{align}\)
Vậy \(x=\dfrac{7}{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({{y}_{C\text{D}}}=\dfrac{9}{8}\) .
b) \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-24x+7\) . TXĐ: \( \mathbb{R}\)
\(\begin{aligned} & y'=3{{x}^{2}}-6x-24=3\left( {{x}^{2}}-2x-8 \right). \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-2 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ & y''=6x-6. \\ \end{aligned}\)
Vì \(y''\left( -2 \right)=-18<0,y''\left( 4 \right)=18>0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), đạt cực tiểu tại \(x=4\) và \({{y}_{CD}}=y\left( -2 \right)=35;\,{{y}_{CT}}=y\left( 4 \right)=-73\) .
c) \(y={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-3 \right)}^{3}}\) . TXĐ: \(\mathbb{R}\)
\(\begin{aligned} & y'=2\left( x+2 \right){{\left( x-3 \right)}^{3}}+3{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=5x\left( x+2 \right){{\left( x-3 \right)}^{2}}. \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-2 \\ & x=0 \\ & x=3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Từ đó suy ra \({{y}_{CD}}=y\left( -2 \right)=0;\,\,{{y}_{CT}}=y\left( 0 \right)=-108\)
Ghi nhớ:
a)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của \(f(x)\)
b)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của \(f(x)\)