Giải bài 1.23 trang 16 - SBT Giải tích 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-mx^2+\left(m-\dfrac{2}{3} \right)x+5\) có cực trị tại \(x=1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại ? Tính cực trị tương ứng.
\(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)x+5 \)
Ta biết hàm số \(y=f(x)\) có cực trị khi phương trình \(y’=0\) có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó. Ta có:
\(y'=3{{x}^{2}}-2mx+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)\)
Xét \(y’=0\), ta có: \(\Delta '={{m}^{2}}-3\left( m-\dfrac{2}{3} \right)={{m}^{2}}-3m+2 \)
\(\Delta '>0\) khi \(m <1\) hoặc \(m > 2 \) (*)
Để hàm số có cực trị tại \(x=1\) thì
\(y'\left( 1 \right)=3-2m+m-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Với \(m=\dfrac{7}{3}\) thì hàm số đã cho trở thành
\(\begin{align} & y={{x}^{3}}-\dfrac{7}{3}{{x}^{2}}+\dfrac{5}{3}x+5 \\ & \\ \end{align}\)
Ta có
\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{5}{3}; \\ & y''=6x-\dfrac{14}{3} \\ \end{align} \)
Vì \(y''\left( 1 \right)=6-\dfrac{14}{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({{y}_{CT}}=y\left( 1 \right)=\dfrac{16}{3}\) .
Ghi nhớ:
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \(\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),\,h>0\) . Khi đó:
a) Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)>0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu;
b) Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)<0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại.