Giải bài 1.25 trang 16 - SBT Giải tích 12

Hướng dẫn giải: Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\) .
Ta có 
\(\begin{align} & y=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx-3}{x-m} \\ & y'=\dfrac{\left( 2x+2m \right)\left( x-m \right)-\left( {{x}^{2}}+2mx-3 \right)}{{{\left( x-m \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=\dfrac{2{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}-{{x}^{2}}-2mx+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}} \\ \end{align} \)
Xét \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3\) ,
\(\begin{align} & \Delta {{'}_{g}}={{m}^{2}}+2{{m}^{2}}-3=3\left( {{m}^{2}}-1 \right) \\ & \Delta {{'}_{g}}\le 0\,\,khi\,\,-1\le m\le 1. \\ \end{align} \)
Khi \(-1 < m < 1\) thì phương trình \(g(x)=0\) vô nghiệm hay \(y’=0\) vô nghiệm và \(y’>0\) trên tập xác định. Khi đó,hàm số không có cực trị.
Khi \(m=1\) hoặc \(m=-1\), hàm số đã cho trở thành \(y=x+3\) (với \(x\ne 1\) ) hoặc \(y=x-3\) (với \(x\ne -1\)). Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi  \(-1\le m\le 1\) .