Giải bài 1.19 trang 16 - SBT Giải tích 12
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y=x-6\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\)
b) \(y=\left( 7-x \right)\sqrt[3]{x+5} \)
c) \(y=\dfrac{x}{\sqrt{10-x^2}}\)
d) \(y=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}\)
a) \(y=x-6\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\) . TXĐ: \(\mathbb{R} \)
\(\begin{align} & y'=1-\dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{x}-4}{\sqrt[3]{x}} \\ & y'=0\Leftrightarrow x=64 \\ \end{align} \)
Bảng biến thiên:
Vậy ta có \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( 0 \right)=0;\,{{y}_{CT}}=y\left( 64 \right)=-32 \).
b) \(y=\left( 7-x \right)\sqrt[3]{x+5} \)
Hàm số xác định trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\)
\(y'=-\sqrt[3]{x+5}+\dfrac{7-x}{3\sqrt[3]{{{\left( x+5 \right)}^{2}}}}=\dfrac{-4\left( x+2 \right)}{3\sqrt[3]{{{\left( x+5 \right)}^{2}}}} \)
Bảng biến thiên:
Vậy \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( -2 \right)=9\sqrt[3]{3}\) .
c) \(y=\dfrac{x}{\sqrt{10-{{x}^{2}}}}\)
Hàm số xác định trên khoảng \(\left( -\sqrt{10};\sqrt{10} \right) \)
\(y'=\dfrac{\sqrt{10-{{x}^{2}}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{10-{{x}^{2}}}}}{10-{{x}^{2}}}=\dfrac{10}{\left( 10-{{x}^{2}} \right)\sqrt{10-{{x}^{2}}}} \)
Vì \(y'>0\) với mọi \(x\in \left( -\sqrt{10};\sqrt{10} \right)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.
d) \(y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}} \)
Tập xác định: \(D=\left( -\infty ;-\sqrt{6} \right)\cup \left( \sqrt{6};+\infty \right) \).
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{3{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-6}-\dfrac{{{x}^{4}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}}}{{{x}^{2}}-6}=\dfrac{3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-6 \right)-{{x}^{4}}}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-6 \right)}^{3}}}}=\dfrac{2{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-6 \right)}^{3}}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-3 \\ & x=3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x =-3\), đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \({{y}_{CT}}=y\left( 3 \right)=9\sqrt{3};\,\,{{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( -3 \right)=-9\sqrt{3}\) .
Ghi nhớ:
a)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu của \(f(x)\)
b)\(\,\,\left\{ \begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & f''\left( {{x}_{0}} \right)<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại của \(f(x)\)