Giải bài 1.22 trang 16 - SBT Giải tích 12

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\) 
\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}-4x+m \\ & y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+m=0 \\ \end{align} \)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi
\(\Delta '=4-3m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{4}{3} \)     (*)
Hàm số có cực trị tại \(x=1\) thì
\(y'\left( 1 \right)=3-4+m=0\Rightarrow m=1\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Mặt khác, vì \(y''=6x-4\Rightarrow y''(1)=6-4=2>0\) nên tại \(x=1\), hàm số đạt cực tiểu.
Vậy, với \(m=1\), hàm số đã cho có cực tiểu tại \(x=1\).

Ghi nhớ:

Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \(\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right),\,h>0\) . Khi đó:

a)Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)>0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực tiểu;

b) Nếu \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=0;\,\,f''\left( {{x}_{0}} \right)<0\Rightarrow {{x}_{0}}\) là điểm cực đại.