Giải bài 9 trang 28 – SGK Hình học lớp 10
Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) thì \(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta{ABC}\) nên
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Vì \(G'\) là trọng tâm của \(\Delta{A'B'C'}\) nên
\(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{GA'}-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}-\overrightarrow{GA}\)
\(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{GB'}-\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}-\overrightarrow{GB}\)
\(\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C’}-\overrightarrow{GC}\)
Suy ra:
\(\begin{align} & \overrightarrow{\text{AA}'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'} \\ & =3\overrightarrow{GG'}+\left( \overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C} \right)-\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right) \\ & =3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0} \\ & =3\overrightarrow{GG'} \\ \end{align} \)
Vậy \(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Ghi nhớ:
G là trọng tâm tam giác ABC ta luôn có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)