Giải bài 1.1 trang 7 - SBT Giải tích 12

a) \(y=3x^2-8x^3\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)

\(y'=6x-24x^2=6x(1-4x) \\ y'=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\frac{1}{4} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

\(y'>0\) trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{1}{4} \right) \), suy ra y đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\dfrac{1}{4} \right) \)

​\(y'<0\)​ trên khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\,;\,\,\left( \dfrac{1}{4};+\infty \right) \), suy ra y nghịch biến trên từng khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\,;\,\,\left( \dfrac{1}{4};+\infty \right) \) ​​

b) \(y=16x+2x^2-\dfrac{16}{3}x^3-x^4\). TXĐ: \(\mathbb{R}\) 

\(\begin{aligned} & y'=16+4x-16{{x}^{2}}-4{{x}^{3}}=-4\left( x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right) \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-4 \\ & x=-1 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)         

   

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng \( \left( -\infty ;-4 \right)\) và \((-1;1)\), nghịch biến trên các khoảng \((-4;-1)\) và \((1;+\infty)\).

c) \(y=x^3-6x^2+9x\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)

\(\begin{aligned} & y'=3{{x}^{2}}-12x+9 \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

\(y'>0\) trên các khoảng \((-\infty;1), (3;+\infty)\)nên y đồng biến trên các khoảng \((-\infty;1), (3;+\infty)\)

 

\(y'<0\) trên khoảng \((1;3)\) nên y nghịch biến trên khoảng \((1;3)\)

d) \(y=x^4+8x^2+5\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)

\(\begin{align} & y'=4{{x}^{3}}+16x=4x\left( {{x}^{2}}+4 \right) \\ & y'=0\Leftrightarrow x=0 \\ \end{align} \)

\(y'>0\) trên khoảng \((0;+\infty)\) nên y đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

\(y'<0\) trên khoảng \((-\infty;0)\) nên y nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\).

Ghi nhớ

Giả sử \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Thế thì:

\(f'(x)>0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).

\(f'(x)<0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).