Giải bài 1.3 trang 8 - SBT Giải tích 12
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
| a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+100}\); | b) \(y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}}\). |
a) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+100} \). TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\} \)
\(\begin{align} & y'=\frac{100-x}{2\sqrt{x}{{\left( x+100 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow x=100 \\ \end{align} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;100) và nghịch biến trên khoảng \( \left( 100;+\infty \right)\) .
b) \(y=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-6}}\) . TXĐ: \((-\infty ;-\sqrt{6})\cup \left( \sqrt{6};+\infty \right)\)
\(\begin{align} & y'=\frac{2{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)}{\left( {{x}^{2}}-6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-6}} \\ & y'=0\Leftrightarrow x=\pm 3 \\ \end{align}\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right),\left( 3;+\infty \right)\) , nghịch biến trên các khoảng \(\left( -3;-\sqrt{6} \right),\left( \sqrt{6};3 \right)\) .
Ghi nhớGiả sử \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Thế thì:\(f'(x)>0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).\(f'(x)<0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).