Giải bài 1.2 trang 7 - SBT Giải tích 12

a) \(y=\dfrac{3-2x}{x+7}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\ {-7}.

\(y'=​​\dfrac{-17}{(x+7)^2}\).

\(y'<0\) trên các khoảng \((-\infty;-7), (-7;+\infty)\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó.

b) \(y=\dfrac{1}{(x-5)^2}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\ {5}

\(y'=​​\dfrac{-2}{(x-5)^3}\).

\(y'<0\) trên khoảng \((5;+\infty)\) nên y nghịch biến trên khoảng \((5;+\infty)\).

\(y'>0\) trên khoảng \((-\infty;5)\) nên y đồng biến trên khoảng \((-\infty;5)\).

c) \(y=\dfrac{2x}{x^2-9}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\{-3;3}

\(y'=\dfrac{-2(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\)

\(y'<0\) trên các khoảng \((-\infty;-3), (-3;3), (3;+\infty)\) nên  hàm số nghịch biến trên các khoảng đó.

d) \(y=\dfrac{x^4+48}{x}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\{0}

\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{3\left( {{x}^{4}}-16 \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{3\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{{{x}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-2 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2), (2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-2;0), (0;2)\).

e) \(y=\dfrac{x^2-2x+3}{x+1}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\{-1}

\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{{{x}^{2}}+2x-5}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1-\sqrt{6} \\ & x=-1+\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1-\sqrt{6}), (-1+\sqrt{6};+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-1-\sqrt{6};-1),(-1;-1+\sqrt{6})\).

g) \(y=\dfrac{x^2-5x+3}{x-2}\). TXĐ: \(\mathbb{R}\)\{2}

\(y'=\dfrac{x^2-4x+7}{(x-2)^2}>0\) (do \(x^2-4x+7\) có \(\Delta' =-3 <0\))

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty;2), (2;+\infty)\).

Ghi nhớ

Giả sử \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Thế thì:

\(f'(x)>0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).

\(f'(x)<0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).