Giải bài 1.4 trang 9 - SBT Giải tích 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
| a) \(y=x-\sin x,x\in [0;2\pi]\); | b) \(y=\sin \dfrac{1}{x}, (x>0)\). |
a)\(y=x-\sin x,\,x\in \left[ 0;2\pi \right]\)
\(y'=1-\cos x\ge 0\)với mọi \(x\in \left[ 0;2\pi \right]\)
Dâu “=” xảy ra chỉ tại \(x=0\) và \(x=2\pi\) .
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ 0;2\pi \right]\).
b) Xét hàm số \(y=\sin \,\dfrac{1}{x}\) với x > 0
\(y'=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}cos\dfrac{1}{x}\) .
Giải bất phương trình sau trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\) :
\(\begin{align} & \dfrac{1}{{{x}^{2}}}\left( -cos\dfrac{1}{x} \right)>0\Leftrightarrow cos\dfrac{1}{x}<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2}\left( 1+4k \right)<\dfrac{1}{x}<\dfrac{\pi }{2}\left( 3+4k \right),\,k=0,1,2... \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2}{\pi \left( 1+4k \right)}>x>\dfrac{2}{\pi \left( 3+4k \right)},k=0,1,2... \\ \end{align}\)
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
\(...,\left( \dfrac{2}{\left( 4k+3 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k+1 \right)\pi } \right),\left( \dfrac{2}{\left( 4k-1 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k-3 \right)\pi } \right),...,\left( \dfrac{2}{7\pi };\dfrac{2}{5\pi } \right),\left( \dfrac{2}{3\pi };\dfrac{2}{\pi } \right)\)
và nghịch biến trên các khoảng
\(...,\left( \dfrac{2}{\left( 4k+1 \right)\pi };\dfrac{2}{\left( 4k-1 \right)\pi } \right),...,\left( \dfrac{2}{5\pi };\dfrac{2}{3\pi } \right),\left( \dfrac{2}{\pi };+\infty \right)\) với \(k=0,1,2...\)
Ghi nhớGiả sử \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\). Thế thì:\(f'(x)>0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).\(f'(x)<0, \forall x \in (a;b) \Rightarrow f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).