Giải bài 1.7 trang 8 - SBT Giải tích 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\tan x >\sin x, 0< x< \dfrac{\pi}{2}\);
b) \(1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^2}{8}<\sqrt{1+x}<1+\dfrac{1}{2}\,\, \text{với}\,\,x>0\).
a) Hướng dẫn giải: Xét tính đơn điệu của hàm số \(f\left( x \right)=\tan x-\sin x\) trên nửa khoảng \(\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\)
\(\centerdot\) Xét hàm số \(f\left( x \right)=\tan x-\sin x\) trên nửa khoảng \(\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\)
\(f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\cos x=\dfrac{1-{{\cos }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x}\ge 0,x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right) .\)
Dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x=0\).
Suy ra \(f(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\).
Mặt khác, ta có\( f(0)=0\), nên \(f\left( x \right)=\tan x-\sin x>0\,hay\,\tan x>\sin x\) với mọi \(x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\).
b) Hướng dẫn giải: Xét tính đơn điệu của hàm số \(h\left( x \right)=1+\dfrac{1}{2}x-\sqrt{1+x}\) và \(f\left( x \right)=\sqrt{1+x}-1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{{{x}^{2}}}{8}\) trên \(\left[ 0;+\infty \right);\)
\(\centerdot\) Xét hàm số \(h\left( x \right)=1+\dfrac{1}{2}x-\sqrt{1+x}\) trên \(\left[ 0;+\infty \right);\)
\(h'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\ge 0\) với \(x\ge 0\) .
Dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x=0\) nên \(h(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\).
Vì \(h(0)=0\) nên:
\(h\left( x \right)=1+\dfrac{1}{2}x-\sqrt{1+x}>0\,hay\,1+\dfrac{1}{2}x>\sqrt{1+x}\,,\,x>0\)
\(\centerdot \) Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{1+x}-1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{{{x}^{2}}}{8}\) trên \(\left[ 0;+\infty \right)\);
\(\begin{align} & g\left( x \right)=f'\left( x \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{4}; \\ & g'\left( x \right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4\left( 1+x \right)\sqrt{1+x}}\ge 0\,,\,x\ge 0 \\ \end{align}\)
Vì \(g(0)=0\) và \(g(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\) nên \(g\left( x \right)\ge 0\) , tức là \(f'\left( x \right)\ge 0\) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x=0\) nên \(f(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\).
Mặt khác, ta có \(f(0)=0\) nên
\(f\left( x \right)=\sqrt{1+x}-1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{{{x}^{2}}}{8}>0\,hay\,1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{{{x}^{2}}}{8}<\sqrt{1+x}\) với mọi \(x\in \left( 0;+\infty \right)\) .