Giải bài 1.12 trang 9 - SBT Giải tích 12
Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\)?
| A. \(3\sin^2 x-\cos^2x+5=0\) | B. \(x^2-5x+6=0\) |
| C. \(x^5+x^3-7=0\) | D. \(3\tan x-5=0\) |
Đáp án C.
Vì \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{5}}+{{x}^{3}}-7 \right)'=5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\) (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\)).
Suy ra f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) . Mặt khác \(f(0)=-7;f(2)=32+8-7=33 > 0\) . Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;2] nên tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right)\) để \(f\left( {{x}_{0}} \right)=0\) . Suy ra \(f(x)=0\) có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).
Cách khác: Phương trình
\(\Leftrightarrow 3{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+4=4\left( {{\sin }^{2}}x+1 \right)=0\) vô nghiệm.
Các phương trình \({{x}^{2}}-5x+6=0\) và \(3\tan x-4=0\) có nhiều hơn một nghiệm. Từ đó suy ra phương trình \({{x}^{5}}+{{x}^{3}}-7=0\) có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).